Условие
В треугольнике ABC известны стороны AB=13, AC=11, BC=16. Найдите длину медианы AM.
Подсказка
В каком треугольнике медиана AM — сторона, и какие две стороны этого треугольника известны?
Угол B общий для треугольников ABC и ABM. Найдите его косинус по трём сторонам.
Показать ответ
9
Пошаговое решение
- Что даёт медиана
M — середина BC, поэтому BM=MC=16:2=8. Медиану AM найдём из треугольника ABM, где известны AB=13 и BM=8; не хватает угла B.
- Находим cos B из всего треугольника
По теореме косинусов для треугольника ABC: AC²=AB²+BC²−2·AB·BC·cos B, то есть 121=169+256−2·13·16·cos B. Отсюда cos B=(169+256−121)/(2·13·16)=304/416=19/26.
- Теорема косинусов в треугольнике ABM
AM²=AB²+BM²−2·AB·BM·cos B=169+64−2·13·8·19/26=233−152=81.
- Извлекаем корень
Длина положительна: AM=√81=9.
- Проверяем и записываем ответ
Проверка по формуле медианы: AM²=(2·AB²+2·AC²−BC²)/4=(2·169+2·121−256)/4=81 — совпадает. Типичная ошибка — подставить во второй раз BC=16 вместо BM=8: тогда снова получится AC=11, а не медиана.
Ответ: 9
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Верно найден cos B=19/26 по теореме косинусов для ABC, затем теорема косинусов применена в треугольнике ABM с BM=8 (или обоснованно использована формула медианы), получен ответ 9.
- 1
- Ход решения верный и доведён до конца, но допущена одна вычислительная ошибка (в cos B или в AM²) либо формула медианы использована без вывода или пояснения.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.