Условие
На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки M и N так, что AM=4, MB=6, AN=5, NC=3. Площадь треугольника ABC равна 32. Найдите площадь четырёхугольника BMNC.
Подсказка
Запишите площади треугольников AMN и ABC через две стороны и синус общего угла.
Искомый четырёхугольник — это весь треугольник без маленького треугольника при вершине A.
Показать ответ
24
Пошаговое решение
- Записываем площади через общий угол
У треугольников AMN и ABC общий угол A. По формуле площади через две стороны и угол между ними: S(AMN)=(1/2)·AM·AN·sin A, S(ABC)=(1/2)·AB·AC·sin A.
- Находим стороны AB и AC
AB=AM+MB=4+6=10, AC=AN+NC=5+3=8.
- Отношение площадей
Делим одно равенство на другое, sin A сокращается: S(AMN)/S(ABC)=(AM·AN)/(AB·AC)=(4·5)/(10·8)=1/4. S(AMN)=32·1/4=8.
- Находим площадь четырёхугольника
Четырёхугольник BMNC — это треугольник ABC без треугольника AMN: S=32−8=24.
- Проверяем и записываем ответ
Треугольники AMN и ABC не подобны: 4/10≠5/8, поэтому отношение площадей — не квадрат отношения сторон. Типичная ошибка — ответить площадью треугольника AMN (8) или взять отношение MB·NC/(AB·AC) и получить 7,2.
Ответ: 24
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обосновано отношение площадей треугольников с общим углом S(AMN)/S(ABC)=(AM·AN)/(AB·AC), найдены S(AMN)=8 и площадь четырёхугольника, получен ответ 24.
- 1
- Ход решения верный и доведён до ответа, но отношение площадей использовано без обоснования (без формулы через синус общего угла) либо допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.