Условие
В прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой. Биссектриса CD пересекает гипотенузу AB в точке D, причём AD=3, DB=4. Найдите площадь треугольника ABC.
Подсказка
Отрезки 3 и 4 лежат на гипотенузе, а не являются катетами.
Отношение катетов позволяет записать их как 3t и 4t.
Показать ответ
294/25
Пошаговое решение
- Используем положение биссектрисы
Точка D лежит между A и B, поэтому AB=3+4=7. По теореме о биссектрисе AC/BC=AD/DB=3/4.
- Вводим масштаб
Пусть AC=3t, BC=4t, где t>0. Это катеты; гипотенуза AB=7.
- Находим масштаб по теореме Пифагора
9t²+16t²=49, поэтому 25t²=49 и t=7/5. Отрицательное значение не подходит для длин. Катеты равны 21/5 и 28/5.
- Вычисляем площадь и проверяем
S=AC·BC/2=(21/5)·(28/5)/2=294/25. Квадраты катетов дают (441+784)/25=49, а их отношение 3/4 согласуется с биссектрисой.
Ответ: 294/25
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованы отношение катетов, их масштаб и точная площадь 294/25.
- 1
- Верно найдены отношение катетов и уравнение масштаба; далее допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.