Условие
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C высота CH и медиана CM делят прямой угол на три равных угла. Найдите длину отрезка HM, если гипотенуза AB равна 24.
Подсказка
Чему равна медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе?
Найдите угол A из треугольника ACH и определите вид треугольника AMC.
Показать ответ
6
Пошаговое решение
- Находим углы при вершине C
Три равных угла составляют прямой угол, поэтому угол ACH = угол HCM = угол MCB = 90° : 3 = 30°.
- Медиана, проведённая к гипотенузе
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине: CM=AM=MB=24:2=12.
- Доказываем, что треугольник AMC равносторонний
Из прямоугольного треугольника ACH: угол A = 90° − угол ACH = 60°. В треугольнике AMC стороны AM и CM равны, поэтому угол ACM = угол A = 60°, и третий угол AMC тоже 60°. Треугольник AMC равносторонний.
- Находим HM
CH — высота равностороннего треугольника AMC, проведённая к стороне AM, поэтому она и медиана: H — середина AM, и HM=AM:2=12:2=6.
- Проверяем и записываем ответ
В прямоугольном треугольнике CHM угол HCM равен 30°, катет HM лежит против него: HM=CM:2=6 — совпадает. Типичная ошибка — решить, что точки H и M делят гипотенузу на три равные части, как лучи делят угол, и ответить 24:3=8.
Ответ: 6
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обосновано, что CM=AM=12 (медиана к гипотенузе), найден угол A = 60° и доказано, что треугольник AMC равносторонний (или использован катет против угла 30° в треугольнике CHM), получен ответ 6.
- 1
- Ход решения верный и доведён до ответа, но не обосновано равенство CM=AB/2 или величина угла A (угла HCM), либо допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.