Условие
Стороны треугольника ABC равны AB=10, BC=17, AC=21. Найдите высоту BH, проведённую к стороне AC.
Подсказка
Обозначьте AH=x и выразите HC через x.
Квадрат высоты можно записать из двух прямоугольных треугольников — приравняйте эти выражения.
Показать ответ
8
Пошаговое решение
- Где лежит основание высоты
AC — наибольшая сторона, поэтому углы A и C острые и основание H высоты лежит на отрезке AC. Пусть AH=x, тогда HC=21−x.
- Выражаем BH² двумя способами
Из прямоугольного треугольника ABH: BH²=10²−x². Из прямоугольного треугольника CBH: BH²=17²−(21−x)².
- Решаем уравнение
100−x²=289−441+42x−x², откуда 42x=100−289+441=252, x=6.
- Находим высоту
Из треугольника ABH: BH²=AB²−AH²=100−36=64, BH=8.
- Проверяем и записываем ответ
HC=21−6=15, и 8²+15²=289=17² — верно. По формуле Герона S=84 и BH=2S/AC тот же. Типичная ошибка — считать, что H — середина AC, и получить BH²=100−110,25<0.
Ответ: 8
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обосновано, что H лежит на отрезке AC, составлено и решено уравнение 10²−x²=17²−(21−x)² (или верно применена формула Герона и BH=2S/AC), получен ответ 8.
- 1
- Ход решения верный и доведён до ответа, но положение основания высоты не обосновано либо допущена одна вычислительная ошибка при решении уравнения или извлечении корня.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.