Условие
В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол A прямой, диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD. Найдите площадь трапеции, если BC = 4, AB = 6.
Подсказка
Опустите высоту из вершины C. Какой она станет для треугольника ACD?
Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, связана с отрезками гипотенузы.
Показать ответ
51
Пошаговое решение
- Проводим высоту CH
Опустим перпендикуляр CH на AD. ABCH — прямоугольник (три прямых угла), поэтому CH = AB = 6, AH = BC = 4.
- Смотрим на треугольник ACD
По условию ∠ACD = 90°, значит, ACD — прямоугольный треугольник с гипотенузой AD, а CH — его высота, проведённая к гипотенузе.
- Находим HD
Треугольники ACH и CDH подобны (∠CAH = ∠DCH: оба угла дополняют ∠ACH до 90°), поэтому AH : CH = CH : HD, то есть CH² = AH · HD. HD = 6² : 4 = 36 : 4 = 9.
- Находим большее основание и площадь
AD = AH + HD = 4 + 9 = 13. S = (BC + AD)/2 · AB = (4 + 13)/2 · 6 = 51.
- Проверяем и записываем ответ
Проверка: AC² = 4² + 6² = 52, CD² = 6² + 9² = 117, AC² + CD² = 169 = 13², угол ACD прямой. Типичная ошибка — считать HD = AH и получить AD = 8.
Ответ: 51
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Ход решения верный, все шаги выполнены правильно: CH = 6 и AH = 4 обоснованы, CH — высота прямоугольного треугольника ACD, найдены HD = 9, AD = 13, получен верный ответ 51.
- 1
- Ход решения верный, все шаги выполнены, но соотношение CH² = AH · HD использовано без обоснования (не указан прямой угол ACD или подобие), либо допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.