Условие
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол BAD равен 60°, угол CDA равен 45°, а боковая сторона CD равна 12√6. Найдите боковую сторону AB.
Подсказка
Опустите из вершин B и C высоты на основание AD. Что можно сказать об их длинах?
Выразите высоту через CD и угол D, а затем — через AB и угол A.
Показать ответ
24
Пошаговое решение
- Проводим высоты
Опустим перпендикуляры BH и CK на основание AD. BH = CK, так как оба равны расстоянию между параллельными прямыми AD и BC.
- Находим высоту из треугольника CKD
Треугольник CKD прямоугольный (угол K прямой), угол D равен 45°, поэтому CK = CD · sin 45° = 12√6 · √2/2 = 6√12 = 12√3.
- Переходим к треугольнику ABH
BH = CK = 12√3. В прямоугольном треугольнике ABH угол A равен 60°, BH — катет, противолежащий этому углу, поэтому BH = AB · sin 60°.
- Находим AB
AB = BH : sin 60° = 12√3 : (√3/2) = 24.
- Проверяем и записываем ответ
AH = AB · cos 60° = 12, и AH² + BH² = 144 + 432 = 576 = 24² — верно. Типичная ошибка — разделить BH на cos 60° и получить 24√3 или считать трапецию равнобедренной и ответить AB = CD.
Ответ: 24
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Ход решения верный, все шаги выполнены правильно: обосновано равенство высот BH = CK, из треугольника CKD найдено CK = 12√3, из треугольника ABH — AB = BH : sin 60°, получен верный ответ 24.
- 1
- Ход решения верный, все шаги выполнены, но равенство высот BH и CK не обосновано либо допущена одна вычислительная ошибка при действиях с корнями (в CK или в AB).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.