Условие
В треугольник ABC вписан квадрат KLMN так, что вершины K и N лежат на стороне AC, вершина L — на стороне AB, вершина M — на стороне BC. Найдите сторону квадрата, если AC=30, а высота BH треугольника ABC равна 20.
Подсказка
Какой треугольник отсекает от треугольника ABC верхняя сторона LM квадрата?
Выразите высоту этого маленького треугольника через сторону квадрата x.
Показать ответ
12
Пошаговое решение
- Находим подобные треугольники
Сторона LM квадрата параллельна стороне KN, лежащей на AC, значит, LM ∥ AC. Углы BLM и BAC равны как соответственные, угол B общий, поэтому треугольники LBM и ABC подобны по двум углам.
- Выражаем высоту треугольника LBM
Пусть сторона квадрата равна x. Высота BH пересекает LM в точке P, и BP — высота треугольника LBM. Расстояние между параллельными прямыми LM и AC равно стороне квадрата: PH=x, поэтому BP=20−x.
- Составляем пропорцию
В подобных треугольниках соответствующие высоты относятся как соответствующие стороны: LM/AC=BP/BH, то есть x/30=(20−x)/20.
- Решаем уравнение
20x=30·(20−x), 20x=600−30x, 50x=600, x=12.
- Проверяем и записываем ответ
LM=12, BP=20−12=8, 12/30=8/20=0,4 — верно. Типичная ошибка — взять в пропорцию высоту x (расстояние от AC), а не BP=20−x: уравнение x/30=x/20 не имеет положительного решения.
Ответ: 12
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обосновано подобие треугольников LBM и ABC (LM ∥ AC), высота треугольника LBM выражена как 20−x, составлено уравнение x/30=(20−x)/20 и получен ответ 12.
- 1
- Ход решения верный и доведён до ответа, но не обосновано, что высоты подобных треугольников относятся как стороны (или что BP=BH−x), либо допущена одна вычислительная ошибка при решении уравнения.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.