Условие
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=14, AC=35, NC=27.
Подсказка
Найдите пару подобных треугольников с общим углом B.
Какая сторона большого треугольника соответствует отрезку BN? Выразите её через BN.
Показать ответ
18
Пошаговое решение
- Доказываем подобие треугольников
Рассмотрим треугольники MBN и ABC. Угол B у них общий. Так как MN ∥ AC, углы BNM и BCA равны как соответственные при параллельных прямых MN, AC и секущей BC. Значит, треугольники MBN и ABC подобны по двум углам, причём вершине N соответствует вершина C.
- Записываем отношение сторон
Из подобия BN/BC=MN/AC=14/35=2/5. Сторона BC состоит из двух частей: BC=BN+NC=BN+27.
- Составляем уравнение
Пусть BN=x. Тогда x/(x+27)=2/5, откуда 5x=2x+54, 3x=54, x=18.
- Проверяем и записываем ответ
BC=18+27=45, BN/BC=18/45=2/5 — совпадает с MN/AC. Типичная ошибка — написать BN/NC=MN/AC и получить BN=10,8: в подобных треугольниках сравнивают BN со всей стороной BC, а не с её частью NC.
Ответ: 18
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обосновано подобие треугольников MBN и ABC (общий угол B и соответственные углы при MN ∥ AC), верно записано отношение BN/(BN+27)=14/35, получен ответ 18.
- 1
- Ход решения верный, все шаги выполнены, но подобие не обосновано (не указаны равные углы) или при решении пропорции допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.