Условие
Основания трапеции ABCD равны AD = 15 и BC = 10. Через точку O пересечения её диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям, она пересекает боковые стороны AB и CD в точках P и Q. Найдите длину отрезка PQ.
Подсказка
В каком отношении точка O делит диагонали трапеции?
Рассмотрите отрезки PO и OQ отдельно в треугольниках ABC и DBC.
Показать ответ
12
Пошаговое решение
- Находим, как O делит диагонали
Треугольники AOD и COB подобны (вертикальные углы при O и накрест лежащие ∠OAD = ∠OCB), поэтому AO : OC = DO : OB = AD : BC = 15 : 10 = 3 : 2. Значит, AO : AC = 3 : 5 и DO : DB = 3 : 5.
- Находим PO из треугольника ABC
PO ∥ BC, поэтому треугольники APO и ABC подобны: PO : BC = AO : AC = 3 : 5, PO = 10 · 3/5 = 6.
- Находим OQ из треугольника DBC
OQ ∥ BC, поэтому треугольники DOQ и DBC подобны: OQ : BC = DO : DB = 3 : 5, OQ = 10 · 3/5 = 6.
- Складываем
PQ = PO + OQ = 6 + 6 = 12. Точка O — середина PQ.
- Проверяем и записываем ответ
По общей формуле PQ = 2 · AD · BC/(AD + BC) = 2 · 15 · 10/25 = 12. Типичная ошибка — считать PQ средней линией и получить (15 + 10)/2 = 12,5: прямая через O не проходит через середины боковых сторон.
Ответ: 12
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Ход решения верный, все шаги выполнены правильно: обосновано отношение AO : OC = 3 : 2, из подобия треугольников найдены PO = 6 и OQ = 6, получен верный ответ 12.
- 1
- Ход решения верный, все шаги выполнены, но подобие треугольников использовано без обоснования (не указана параллельность или равные углы) либо допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.