Условие
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BK = 10, KC = 6, а угол BAD равен 30°.
Подсказка
Сравните углы BKA и KAD: какие это углы при параллельных прямых?
Какой треугольник отсекает биссектриса от параллелограмма? Для высоты используйте угол 30°.
Показать ответ
80
Пошаговое решение
- Находим равные углы
AD ∥ BC, AK — секущая, поэтому ∠BKA = ∠KAD как накрест лежащие. AK — биссектриса, значит, ∠BAK = ∠KAD. Отсюда ∠BAK = ∠BKA.
- Получаем равнобедренный треугольник
В треугольнике ABK углы при стороне AK равны, поэтому он равнобедренный: AB = BK = 10.
- Находим сторону AD
BC = BK + KC = 10 + 6 = 16. Противоположные стороны параллелограмма равны: AD = BC = 16.
- Находим высоту и площадь
Опустим высоту BH на AD. В прямоугольном треугольнике ABH угол A равен 30°, катет против него равен половине гипотенузы: BH = AB : 2 = 10 : 2 = 5. S = AD · BH = 16 · 5 = 80.
- Проверяем и записываем ответ
Иначе: S = AB · AD · sin A = 10 · 16 · 1/2 = 80. Типичная ошибка — считать AB равной KC = 6 и получить 48: равнобедренный треугольник отсекается у вершины B, поэтому AB = BK.
Ответ: 80
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Ход решения верный, все шаги выполнены правильно: обосновано AB = BK = 10 (накрест лежащие углы и биссектриса), найдены AD = 16 и высота 5 (или использован sin 30°), получен верный ответ 80.
- 1
- Ход решения верный, все шаги выполнены, но равенство AB = BK не обосновано (нет ссылки на накрест лежащие углы) или допущена одна вычислительная ошибка в стороне AD, высоте или площади.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.