Условие
Площадь параллелограмма ABCD равна 72. Точка K — середина стороны BC, точка M лежит на стороне CD, причём DM : MC = 1 : 2. Найдите площадь треугольника AKM.
Подсказка
Какие три треугольника дополняют AKM до параллелограмма?
Площадь каждого из них выразите через основание, составляющее долю стороны, и долю высоты.
Показать ответ
30
Пошаговое решение
- Представляем треугольник как разность
Треугольник AKM получается, если из параллелограмма убрать три треугольника: ABK, KCM и MDA. Найдём площадь каждого в долях от S = S(ABCD).
- Треугольник ABK
Его основание BK = BC/2, а высота из A на прямую BC равна высоте h параллелограмма к стороне BC. S(ABK) = (1/2) · (BC/2) · h = S/4 = 72 : 4 = 18.
- Треугольник MDA
Основание DM = CD/3, высота из A на прямую CD равна высоте параллелограмма к стороне CD. S(MDA) = (1/2) · (CD/3) · h₁ = S/6 = 12.
- Треугольник KCM
Основание KC = BC/2. Точка M делит CD так, что CM = (2/3)CD, поэтому расстояние от M до прямой BC равно (2/3)h. S(KCM) = (1/2) · (BC/2) · (2/3)h = S/6 = 12.
- Вычитаем и проверяем
S(AKM) = 72 − 18 − 12 − 12 = 30, это 5/12 площади параллелограмма. Типичная ошибка — считать расстояние от M до BC равным высоте h (как у точки D) и получить для KCM площадь 18 вместо 12.
Ответ: 30
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Ход решения верный, все шаги выполнены правильно: площади треугольников ABK, KCM, MDA обоснованно найдены как 18, 12, 12 (доли оснований и высот), получен верный ответ 30.
- 1
- Ход решения верный, все шаги выполнены, но доля высоты для треугольника KCM не обоснована или допущена одна вычислительная ошибка в площади одного из трёх треугольников.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.