Условие
Равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD=24 и BC=10 вписана в окружность. Высота трапеции равна 17. Найдите радиус окружности.
Подсказка
Центр окружности равноудалён от концов каждой хорды. На какой прямой он лежит?
Обозначьте расстояние от центра до большего основания через x и выразите R² двумя способами.
Показать ответ
13
Пошаговое решение
- Где лежит центр окружности
Основания AD и BC — хорды окружности, поэтому центр O лежит на серединных перпендикулярах к ним. В равнобедренной трапеции эти перпендикуляры совпадают — это ось симметрии MN, где M и N — середины AD и BC. MN перпендикулярна основаниям, её длина равна высоте 17.
- Вводим неизвестное
Пусть OM = x — расстояние от центра до AD. Тогда (если O между основаниями) ON = 17 − x. Из прямоугольных треугольников AMO и BNO: R² = AM² + OM² = 12² + x², R² = BN² + ON² = 5² + (17 − x)².
- Составляем и решаем уравнение
144 + x² = 25 + 289 − 34x + x², 34x = 170, x = 5.
- Находим радиус
x = 5 лежит между 0 и 17, значит, центр действительно внутри трапеции и предположение верно. R² = 144 + 25 = 169, R = 13.
- Проверка
ON = 17 − 5 = 12, BN² + ON² = 25 + 144 = 169 = 13² — верно. Типичная ошибка — считать центр серединой большего основания и ответить 12: тогда OB = √(25 + 289) ≠ 12.
Ответ: 13
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обосновано, что центр лежит на оси симметрии трапеции; составлено уравнение 144 + x² = 25 + (17 − x)², найдено x = 5 и радиус 13.
- 1
- Ход решения верный и доведён до конца, но положение центра на оси симметрии не обосновано, либо допущена одна вычислительная ошибка при решении уравнения или вычислении R.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.