Условие
Прямая AD, перпендикулярная медиане BM треугольника ABC, делит её пополам (точка D лежит на стороне BC). Найдите сторону AC, если сторона AB равна 7.
Подсказка
Рассмотрите треугольник ABM. Чем в нём является отрезок AK, если K — точка пересечения AD и BM?
Чем является точка M для стороны AC?
Показать ответ
14
Пошаговое решение
- Обозначаем точку пересечения
Пусть прямая AD пересекает медиану BM в точке K. По условию K — середина BM, то есть BK=KM, и AK ⊥ BM.
- Доказываем равенство треугольников
Прямоугольные треугольники ABK и AMK равны по двум катетам: катет AK общий, BK=KM. Значит, равны их гипотенузы: AM=AB=7. (Иначе: в треугольнике ABM отрезок AK — одновременно высота и медиана, поэтому треугольник ABM равнобедренный с основанием BM.)
- Используем медиану BM
BM — медиана треугольника ABC, поэтому M — середина стороны AC и AC=2·AM.
- Находим AC
AM=MC=7, поэтому AC=AM+MC=2·7=14. Обратите внимание: отрезок AD при этом не обязан быть ни медианой, ни биссектрисой треугольника ABC.
- Проверяем и записываем ответ
Длина медианы BM в условии не дана и не нужна: при любом её значении AM=AB. Типичная ошибка — считать равнобедренным треугольник ABC и ответить AC=AB=7; равнобедренный здесь треугольник ABM, а сторона AC вдвое длиннее AM.
Ответ: 14
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обосновано равенство AM=AB (равенство прямоугольных треугольников ABK и AMK по двум катетам или высота-медиана в треугольнике ABM), использовано, что M — середина AC, получен ответ 14.
- 1
- Ход решения верный и доведён до ответа, но равенство AM=AB не обосновано (не указано, что AK — высота и медиана треугольника ABM) либо допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.