Условие
Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Площади треугольников AOD и BOC равны соответственно 50 и 18. Найдите площадь трапеции.
Подсказка
Треугольники AOD и COB подобны. Как связаны отношение их площадей и коэффициент подобия?
У треугольников AOB и AOD общая высота из вершины A.
Показать ответ
128
Пошаговое решение
- Доказываем подобие треугольников AOD и COB
∠AOD = ∠COB как вертикальные, ∠OAD = ∠OCB как накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей AC. Треугольники AOD и COB подобны по двум углам.
- Находим коэффициент подобия
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента: k² = 50 : 18 = 25/9, k = 5/3. Значит, DO : OB = 5 : 3.
- Находим площадь треугольника AOB
Треугольники AOB и AOD имеют общую высоту из вершины A к прямой BD, поэтому их площади относятся как основания: S(AOB) : S(AOD) = OB : OD = 3 : 5, S(AOB) = 50 · 3/5 = 30.
- Находим площадь треугольника COD
S(ABD) = S(ACD): общее основание AD и равные высоты (расстояние между основаниями). Вычитая S(AOD), получаем S(COD) = S(AOB) = 30.
- Складываем и проверяем
S = 50 + 18 + 30 + 30 = 128. Проверка: S(AOB)² = 900 = 50 · 18. Типичная ошибка — взять k = 50/18 (отношение площадей без корня) или сложить только 50 + 18 = 68.
Ответ: 128
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Ход решения верный, все шаги выполнены правильно: доказано подобие AOD и COB, найден k = 5/3, обосновано S(AOB) = S(COD) = 30 (общая высота, равновеликие ABD и ACD), получен верный ответ 128.
- 1
- Ход решения верный, все шаги выполнены, но не обосновано равенство площадей треугольников AOB и COD или подобие AOD и COB, либо допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.