Условие
Стороны параллелограмма ABCD равны AB = 7 и AD = 9, а диагональ BD равна 8. Найдите диагональ AC.
Подсказка
Найдите косинус угла A из треугольника ABD по трём сторонам.
Как связаны косинусы соседних углов параллелограмма? Примените теорему косинусов в треугольнике ABC.
Показать ответ
14
Пошаговое решение
- Теорема косинусов в треугольнике ABD
BD² = AB² + AD² − 2 · AB · AD · cos A: 64 = 49 + 81 − 126 · cos A, откуда cos A = (49 + 81 − 64) / 126 = 66/126 = 11/21.
- Связываем углы A и B
Углы A и B параллелограмма прилежат к стороне AB, их сумма 180°, поэтому cos B = cos(180° − A) = −cos A = −11/21. Кроме того, BC = AD = 9 как противоположные стороны.
- Теорема косинусов в треугольнике ABC
AC² = AB² + BC² − 2 · AB · BC · cos B = 49 + 81 + 126 · 11/21 = 130 + 66 = 196.
- Находим AC
Длина диагонали положительна: AC = √196 = 14. Она длиннее BD, потому что лежит против тупого угла B параллелограмма (cos B < 0).
- Проверяем и записываем ответ
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех сторон: 196 + 64 = 260 = 2 · (49 + 81) — верно. Типичная ошибка — взять cos B = cos A и получить AC = BD = 8, как у прямоугольника.
Ответ: 14
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Ход решения верный, все шаги выполнены правильно: найден cos A = 11/21, обосновано cos B = −cos A (сумма соседних углов 180°) и BC = AD, по теореме косинусов получен верный ответ 14.
- 1
- Ход решения верный, все шаги выполнены, но знак cos B не обоснован (нет ссылки на сумму соседних углов) либо допущена одна вычислительная ошибка в cos A или AC².
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.