Условие
В треугольнике ABC стороны AB=BC=10, AC=12. Найдите расстояние между центрами вписанной в этот треугольник и описанной около него окружностей.
Подсказка
Оба центра лежат на одной прямой. На какой?
Найдите расстояния от каждого центра до основания AC: одно равно радиусу вписанной окружности, другое получите из равенства OA = OB.
Показать ответ
1,25
Пошаговое решение
- Где лежат центры
Центр I вписанной окружности лежит на биссектрисе угла B, центр O описанной — на серединном перпендикуляре к AC. В равнобедренном треугольнике высота BH к основанию является и биссектрисой, и серединным перпендикуляром, поэтому оба центра лежат на BH, и искомое расстояние равно |IH − OH|.
- Находим высоту и площадь
AH = 12/2 = 6, BH² = 10² − 6² = 64, BH = 8. S = (1/2)·12·8 = 48.
- Находим IH — радиус вписанной окружности
Полупериметр p = (10 + 10 + 12)/2 = 16, r = S/p = 48/16 = 3. Вписанная окружность касается AC в точке H, поэтому IH = r = 3.
- Находим OH
Пусть OH = x, тогда OB = 8 − x, а OA = √(6² + x²). Из OA = OB: 36 + x² = (8 − x)², 36 = 64 − 16x, x = 1,75. Радиус R = 6,25.
- Вычисляем расстояние и проверяем
OI = IH − OH = 3 − 1,75 = 1,25. Проверка по формуле Эйлера: OI² = R² − 2Rr = 39,0625 − 37,5 = 1,5625 = 1,25². Типичная ошибка — сложить расстояния (4,75), забыв, что оба центра лежат по одну сторону от AC.
Ответ: 1,25
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обосновано, что оба центра лежат на высоте BH; верно найдены r = 3 и OH = 1,75 (или R = 6,25), получен ответ 1,25.
- 1
- Ход решения верный и доведён до конца, но не обосновано, что центры лежат на высоте к основанию, или допущена одна вычислительная ошибка при нахождении r, R или OH.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.