Условие
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C катеты AC=21, BC=28. Окружность с центром на гипотенузе AB касается обоих катетов. Найдите радиус окружности.
Подсказка
Проведите радиусы в точки касания с катетами. Какая фигура получится вместе с вершиной C?
Найдите пару подобных треугольников с общим углом A и выразите их стороны через r.
Показать ответ
12
Пошаговое решение
- Проводим радиусы в точки касания
Пусть O — центр, E и F — точки касания с AC и BC. Радиусы OE и OF перпендикулярны катетам, поэтому в четырёхугольнике CEOF три угла прямые, а соседние стороны OE = OF = r: CEOF — квадрат со стороной r.
- Находим подобные треугольники
OE перпендикулярна AC, как и BC, поэтому OE параллельна BC. Треугольники AEO и ACB подобны (угол A общий, углы E и C прямые).
- Составляем пропорцию
AE/AC = EO/CB, где AE = AC − CE = 21 − r: (21 − r)/21 = r/28.
- Решаем уравнение
28·(21 − r) = 21r, 588 = 49r, r = 588/49 = 12.
- Проверка площадью
S(ABC) = S(ACO) + S(BCO): (1/2)·21·28 = (1/2)·21·r + (1/2)·28·r, 588 = 49r — то же уравнение. Типичная ошибка — искать радиус вписанной окружности (a + b − c)/2 = 7: у неё центр внутри треугольника, а не на гипотенузе.
Ответ: 12
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обосновано, что CEOF — квадрат со стороной r; верно составлена пропорция из подобия треугольников AEO и ACB (или равенство площадей), получен ответ 12.
- 1
- Ход решения верный и доведён до конца, но не обосновано, что CE = r (вид четырёхугольника CEOF) или подобие треугольников, либо допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.