Условие
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB=12, AC=18.
Подсказка
Проведите радиус OB в точку касания. Какой угол он образует с прямой AB?
Выразите AO через AC и радиус и примените теорему Пифагора к треугольнику ABO.
Показать ответ
10
Пошаговое решение
- Проводим радиус в точку касания
Пусть O — центр окружности, r — её радиус. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому OB ⊥ AB и треугольник ABO прямоугольный с прямым углом B.
- Выражаем стороны через r
OB = r. Точка O лежит на отрезке AC, а OC = r (C лежит на окружности), поэтому AO = AC − OC = 18 − r.
- Составляем уравнение по теореме Пифагора
AO² = AB² + OB²: (18 − r)² = 12² + r², 324 − 36r + r² = 144 + r², 36r = 180, r = 5.
- Находим диаметр
d = 2r = 10. Условие выполнено: r = 5 < AC = 18, центр действительно лежит на стороне AC.
- Проверка другим способом
Прямая AC проходит через центр, поэтому пересекает окружность в концах диаметра C и D, AD = 18 − 10 = 8. По теореме о касательной и секущей AB² = AD·AC: 144 = 8·18 — верно. Типичная ошибка — записать в ответ радиус 5 вместо диаметра.
Ответ: 10
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обосновано, что OB ⊥ AB (радиус в точку касания), верно выражено AO = 18 − r, составлено и решено уравнение по теореме Пифагора, получен диаметр 10.
- 1
- Ход решения верный, уравнение составлено и решено, но не обоснована перпендикулярность радиуса и касательной, или допущена одна вычислительная ошибка, или в ответ записан радиус вместо диаметра.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.