Условие
Через вершину C трапеции ABCD с основаниями AD и BC проведена прямая, параллельная боковой стороне AB и пересекающая основание AD в точке E. Периметр треугольника CED равен 27, BC = 8. Найдите периметр трапеции.
Подсказка
Какой четырёхугольник образуют точки A, B, C, E?
Выразите стороны AB и AD трапеции через стороны треугольника CED и отрезок BC.
Показать ответ
43
Пошаговое решение
- Доказываем, что ABCE — параллелограмм
BC ∥ AE, так как они лежат на основаниях трапеции, а CE ∥ AB по построению. Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, — параллелограмм.
- Переносим стороны
В параллелограмме противоположные стороны равны: AE = BC = 8, AB = CE.
- Записываем периметр трапеции через периметр треугольника
P(ABCD) = AB + BC + CD + AD = CE + BC + CD + (AE + ED) = (CE + CD + ED) + BC + AE.
- Вычисляем
P(ABCD) = 27 + 8 + 8 = 43.
- Проверяем и записываем ответ
Трапеция состоит из параллелограмма ABCE и треугольника CED, отрезок BC = AE входит в её периметр дважды: как верхнее основание и как часть AD. Типичная ошибка — прибавить 8 один раз и получить 35.
Ответ: 43
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Ход решения верный, все шаги выполнены правильно: обосновано, что ABCE — параллелограмм, получены AB = CE и AE = BC = 8, периметр выражен через периметр треугольника CED, получен ответ 43.
- 1
- Ход решения верный, все шаги выполнены, но не обосновано, что ABCE — параллелограмм (равенства AB = CE, AE = BC взяты без доказательства), или допущена одна вычислительная ошибка при сложении.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.