Условие
Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=4 и MB=6. Касательная к окружности, описанной около треугольника ABC, проведённая в точке C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.
Подсказка
Сравните углы DCM и DMC треугольника DCM: выразите каждый через углы треугольника ABC.
Для точки D запишите теорему о касательной и секущей.
Показать ответ
12
Пошаговое решение
- Угол между касательной и хордой
По свойству биссектрисы CA : CB = AM : MB = 2 : 3, значит, CA < CB и угол B меньше угла A, поэтому точка D лежит на продолжении стороны BA за точку A. Угол между касательной DC и хордой CA равен вписанному углу, опирающемуся на дугу CA: угол DCA = угол B.
- Сравниваем углы треугольника DCM
Угол DCM = угол DCA + угол ACM = угол B + C/2 (CM — биссектриса). Угол DMC — внешний угол треугольника BMC, он равен сумме двух углов, не смежных с ним: угол DMC = угол B + угол BCM = угол B + C/2.
- Треугольник DCM равнобедренный
Углы DCM и DMC равны, поэтому DC = DM.
- Теорема о касательной и секущей
Пусть CD = x. Тогда DM = x, DA = x − 4, DB = x + 6. Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть: x² = (x − 4)(x + 6) = x² + 2x − 24, откуда 2x = 24, x = 12.
- Проверяем и записываем ответ
DA = 8, DB = 18, DA · DB = 144 = 12² — верно. Типичная ошибка — считать, что D лежит за точкой B, и записать DA = x + 4: тогда уравнение не имеет положительного решения.
Ответ: 12
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обосновано, что угол DCA равен углу B (угол между касательной и хордой), доказано DC = DM через внешний угол треугольника BMC, верно применена теорема DC² = DA·DB, получен ответ 12.
- 1
- Ход решения верный и доведён до конца, но равенство DC = DM или угла DCA углу B использовано без обоснования, либо допущена одна вычислительная ошибка при решении уравнения.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.