Условие
Хорда AB окружности с центром O и радиусом 25 равна 40. Точка M лежит на хорде AB, AM=12. Найдите расстояние от точки M до центра окружности.
Подсказка
Опустите перпендикуляр из центра на хорду. В какой точке он её пересекает?
Найдите расстояние от центра до хорды, а затем рассмотрите прямоугольный треугольник с вершинами O, H, M.
Показать ответ
17
Пошаговое решение
- Проводим перпендикуляр из центра к хорде
Треугольник AOB равнобедренный (OA = OB = R), поэтому его высота OH является и медианой: перпендикуляр из центра делит хорду пополам, AH = HB = 40/2 = 20.
- Находим расстояние от центра до хорды
Из прямоугольного треугольника AOH: OH² = OA² − AH² = 625 − 400 = 225, OH = 15.
- Находим HM
AM = 12 < AH = 20, значит, точка M лежит между A и H, и HM = AH − AM = 20 − 12 = 8.
- Находим OM
Треугольник OHM прямоугольный с прямым углом H: OM² = OH² + HM² = 225 + 64 = 289, OM = 17.
- Проверка по произведению отрезков хорды
Через M проходит диаметр; произведение его отрезков (R − OM)(R + OM) = R² − OM² должно равняться AM·MB: 625 − 289 = 336 и 12·28 = 336 — верно. Типичная ошибка — взять HM = AM = 12, забыв, что основание перпендикуляра — середина хорды.
Ответ: 17
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обосновано, что перпендикуляр OH делит хорду пополам (AH = 20), верно найдены OH = 15 и HM = 8, по теореме Пифагора получен ответ 17.
- 1
- Ход решения верный и доведён до конца, но не обосновано, что H — середина хорды, или неверно определено положение M относительно H, либо допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.