Условие
Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BC в точках K и E соответственно. Найдите длину отрезка KE, если AC=36, BK=10, BC=24.
Подсказка
Четырёхугольник AKEC вписан в окружность. Что можно сказать о его противоположных углах?
Сравните угол BKE с углом BCA и найдите подобные треугольники с общим углом B.
Показать ответ
15
Пошаговое решение
- Рассматриваем вписанный четырёхугольник
Точки A, K, E, C лежат на одной окружности, значит, AKEC — вписанный четырёхугольник, и сумма его противоположных углов равна 180°: угол AKE + угол ACE = 180°.
- Находим равные углы
Углы AKE и BKE смежные, поэтому угол BKE = 180° − угол AKE = угол ACE, то есть угол BKE равен углу BCA треугольника ABC.
- Доказываем подобие
Треугольники BKE и BCA подобны по двум углам: угол B у них общий, угол BKE равен углу BCA. Соответствие вершин: B→B, K→C, E→A. Значит, KE/CA = BK/BC.
- Вычисляем KE
KE = AC·BK/BC = 36·10/24 = 360/24 = 15.
- Проверяем соответствие сторон
Отрезок KE не параллелен AC, поэтому нельзя писать пропорцию по теореме Фалеса. Типичная ошибка — сопоставить K с A и записать KE/AC = BK/AB: сторона AB в условии не дана, и такая пропорция неверна. Подобие с коэффициентом BK/BC = 10/24 = 5/12 даёт KE меньше AC (15 < 36), что согласуется с рисунком.
Ответ: 15
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно доказано подобие треугольников BKE и BCA (общий угол B и равенство углов BKE и BCA через вписанный четырёхугольник AKEC), верно установлено соответствие сторон, получен ответ 15.
- 1
- Ход решения верный и доведён до конца, но равенство углов BKE и BCA не обосновано (не упомянут вписанный четырёхугольник или смежные углы) или допущена одна вычислительная ошибка в 36·10/24.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.