Условие
Окружность с центром O касается сторон угла с вершиной A в точках B и C. Найдите радиус окружности, если AB=15, BC=24.
Подсказка
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе. Как она расположена относительно хорды BC?
Треугольник ABO прямоугольный (радиус в точку касания). Какой отрезок в нём — высота к гипотенузе?
Показать ответ
20
Пошаговое решение
- Используем свойства касательных из одной точки
Отрезки касательных, проведённых из точки A, равны: AC = AB = 15, и центр O лежит на биссектрисе угла A. Треугольник ABC равнобедренный, поэтому биссектриса AO перпендикулярна BC и делит её пополам в точке M: BM = 24/2 = 12.
- Находим AM
Из прямоугольного треугольника ABM: AM² = AB² − BM² = 225 − 144 = 81, AM = 9.
- Рассматриваем прямоугольный треугольник ABO
Радиус OB перпендикулярен касательной AB, поэтому угол ABO прямой, а BM — высота, проведённая к гипотенузе AO. Катет — среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции: AB² = AM·AO.
- Находим AO и радиус
AO = AB²/AM = 225/9 = 25. По теореме Пифагора OB² = AO² − AB² = 625 − 225 = 400, r = OB = 20.
- Проверка
В треугольнике ABO высота к гипотенузе BM = AB·OB/AO = 15·20/25 = 12 — совпадает с половиной хорды. Типичная ошибка — принять AM = 9 за радиус или считать, что точка M лежит на окружности.
Ответ: 20
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обосновано, что AB = AC, AO ⊥ BC и BM = 12, что угол ABO прямой; верно применено AB² = AM·AO (или подобие треугольников ABM и AOB), найден радиус 20.
- 1
- Ход решения верный и доведён до конца, но не обоснована перпендикулярность AO и BC или радиуса и касательной, либо допущена одна вычислительная ошибка при нахождении AM, AO или OB.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.