Условие
Медианы AA1 и BB1 треугольника ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 54. Найдите площадь четырёхугольника OA1CB1.
Подсказка
Как медиана делит площадь треугольника?
В каком отношении точка пересечения медиан делит каждую из них?
Показать ответ
18
Пошаговое решение
- Медиана делит площадь пополам
Треугольники ABA1 и AA1C имеют общую высоту из A и равные основания BA1=A1C, поэтому S(AA1C)=S(ABA1)=54:2=27. Так же медиана BB1 даёт S(ABB1)=27.
- Точка пересечения медиан
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины: AO : OA1=2 : 1, то есть AO=(2/3)·AA1.
- Площадь треугольника ABO
Треугольники ABO и ABA1 имеют общую высоту из B, а основания AO и AA1 относятся как 2 : 3. S(ABO)=(2/3)·27=18. Тогда S(AOB1)=S(ABB1)−S(ABO)=27−18=9.
- Находим площадь четырёхугольника
Четырёхугольник OA1CB1 — это треугольник AA1C без треугольника AOB1: S=27−9=18.
- Проверяем и записываем ответ
Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников по 9, а четырёхугольник OA1CB1 состоит из двух из них: 2·9=18. Типичная ошибка — считать, что O делит медиану пополам, и получить 13,5.
Ответ: 18
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обосновано, что медиана делит площадь пополам и что O делит медианы в отношении 2 : 1, площади треугольников ABO и AOB1 найдены через общие высоты, получен ответ 18.
- 1
- Ход решения верный и доведён до ответа, но одно из свойств (деление площади медианой или отношение 2 : 1) использовано без пояснения либо допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.