Условие
Диагонали равнобедренной трапеции ABCD перпендикулярны. Основания AD и BC равны 19 и 5. Найдите площадь трапеции.
Подсказка
Докажите, что точка пересечения диагоналей одинаково удалена от концов основания AD.
Проведите высоту трапеции через точку O и найдите её части в двух треугольниках.
Показать ответ
144
Пошаговое решение
- Доказываем, что треугольник AOD равнобедренный
Треугольники BAD и CDA равны по двум сторонам и углу между ними: AB = DC, AD — общая, ∠BAD = ∠CDA (углы при основании равнобедренной трапеции). Значит, ∠BDA = ∠CAD, и в треугольнике AOD углы при стороне AD равны: OA = OD. Аналогично OB = OC.
- Находим углы
∠AOD = 90° по условию, поэтому треугольники AOD и BOC — равнобедренные прямоугольные, их острые углы равны 45°.
- Проводим высоту через точку O
Проведём через O прямую, перпендикулярную основаниям; она пересечёт AD в точке N и BC в точке M. В равнобедренном треугольнике AOD высота ON является медианой, а в прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна её половине: ON = 19 : 2 = 9,5. Аналогично OM = 5 : 2 = 2,5. Высота трапеции MN = 9,5 + 2,5 = 12.
- Находим площадь
S = (AD + BC)/2 · MN = (19 + 5)/2 · 12 = 12 · 12 = 144.
- Проверяем и записываем ответ
У такой трапеции высота равна средней линии, поэтому S = h² = 12² = 144. Типичная ошибка — взять высоту, равной полуразности оснований (7), как у трапеции с углом 45° при основании, и получить 84.
Ответ: 144
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Ход решения верный, все шаги выполнены правильно: доказано, что треугольники AOD и BOC равнобедренные прямоугольные, высота через O найдена как 9,5 + 2,5 = 12, получен верный ответ 144.
- 1
- Ход решения верный, все шаги выполнены, но равенство OA = OD (или OB = OC) не обосновано либо допущена одна вычислительная ошибка в частях высоты или в площади.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.