Условие
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CH. Известно, что AC=15, CH=9. Найдите гипотенузу AB.
Подсказка
Сначала найдите проекцию AH катета AC на гипотенузу.
Какие два прямоугольных треугольника имеют общий угол A? Составьте пропорцию из их гипотенуз и катетов.
Показать ответ
18,75
Пошаговое решение
- Находим AH
Треугольник ACH прямоугольный (CH ⊥ AB), AC — его гипотенуза. По теореме Пифагора AH²=AC²−CH²=225−81=144, AH=12.
- Доказываем подобие
Треугольники ACH и ABC прямоугольные (углы H и C прямые) и имеют общий острый угол A. Значит, они подобны, причём гипотенузе AC треугольника ACH соответствует гипотенуза AB, а катету AH — катет AC.
- Записываем пропорцию
AH/AC=AC/AB, откуда AC²=AH·AB и AB=AC²/AH=225/12=18,75.
- Проверяем
BH=AB−AH=18,75−12=6,75, и CH²=AH·BH: 81=12·6,75=81 — верно.
- Записываем ответ и разбираем ошибку
AB=18,75. Типичная ошибка — перепутать соответствие сторон и записать AB=AC·AH/CH=20 либо сложить AH и CH (21): CH — не часть гипотенузы.
Ответ: 18,75
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Найдено AH=12 по теореме Пифагора, обосновано подобие треугольников ACH и ABC (или использовано AC²=AH·AB с пояснением), получен ответ 18,75.
- 1
- Ход решения верный и доведён до ответа, но подобие (соответствие сторон) не обосновано либо допущена одна вычислительная ошибка при нахождении AH или AB.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.