Условие
Окружности радиусов 13 и 20 с центрами O₁ и O₂ соответственно касаются внешним образом в точке C. Отрезки AO₁ и BO₂ — параллельные радиусы этих окружностей, точки A и B лежат по одну сторону от прямой O₁O₂, угол AO₁O₂ равен 60°. Найдите AB.
Подсказка
Чему равно расстояние между центрами касающихся внешним образом окружностей?
Перенесите радиус O₁A вдоль O₁O₂ так, чтобы его начало совпало с O₂; получится параллелограмм и треугольник с известным углом.
Показать ответ
37
Пошаговое решение
- Находим расстояние между центрами
При внешнем касании точка касания C лежит на отрезке O₁O₂, поэтому O₁O₂ = O₁C + CO₂ = 13 + 20 = 33.
- Строим параллелограмм
Отложим на радиусе O₂B точку K так, что O₂K = O₁A = 13. Отрезки O₁A и O₂K параллельны, равны и одинаково направлены, значит, AO₁O₂K — параллелограмм: AK = O₁O₂ = 33, AK параллельна O₁O₂, KB = 20 − 13 = 7.
- Находим угол AKB
Угол AKO₂ параллелограмма равен углу AO₁O₂ = 60° (противоположные углы), а угол AKB смежен с ним: угол AKB = 180° − 60° = 120°.
- Применяем теорему косинусов в треугольнике AKB
AB² = AK² + KB² − 2·AK·KB·cos 120° = 1089 + 49 + 33·7 = 1369, AB = 37.
- Проверка и типичная ошибка
AB должна быть больше AK = 33, так как угол AKB тупой и AB — наибольшая сторона треугольника AKB: 37 > 33 — верно. Типичная ошибка — взять cos 120° = 1/2 и получить AB² = 907.
Ответ: 37
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обосновано, что O₁O₂ = 33; построен параллелограмм (или проведены перпендикуляры) и обоснованно найден угол 120° в треугольнике AKB; верно применена теорема косинусов, получен ответ 37.
- 1
- Ход решения верный и доведён до конца, но не обоснован вид вспомогательного четырёхугольника или величина угла, либо допущена одна вычислительная ошибка (например, в знаке косинуса тупого угла).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.