Условие
В трапеции ABCD с основаниями AD = 26 и BC = 10 сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите длину отрезка MN, соединяющего середины оснований BC и AD.
Подсказка
Продлите боковые стороны до пересечения. Какой угол получится в точке пересечения?
Чему равна медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе?
Показать ответ
8
Пошаговое решение
- Продлеваем боковые стороны
Продлим AB и DC до пересечения в точке E. В треугольнике AED ∠A + ∠D = 90°, поэтому ∠AED = 180° − 90° = 90°: треугольник AED прямоугольный. Треугольник BEC тоже прямоугольный с тем же прямым углом E.
- Доказываем, что E, M, N лежат на одной прямой
Проведём EN. Прямая EN пересекает BC в некоторой точке M₁. Треугольники EBM₁ и EAN подобны, треугольники ECM₁ и EDN тоже (BC ∥ AD), поэтому BM₁ : AN = EM₁ : EN = CM₁ : DN. Так как AN = DN, то BM₁ = CM₁, то есть M₁ = M.
- Используем медиану прямоугольного треугольника
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине: EN = AD : 2 = 26 : 2 = 13, EM = BC : 2 = 10 : 2 = 5.
- Находим MN
Точка M лежит между E и N, поэтому MN = EN − EM = 13 − 5 = 8.
- Проверяем и записываем ответ
Получилось MN = (AD − BC)/2 — полуразность оснований. Типичная ошибка — спутать MN со средней линией трапеции и ответить (26 + 10)/2 = 18; средняя линия соединяет середины боковых сторон, а не оснований.
Ответ: 8
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Ход решения верный, все шаги выполнены правильно: доказано, что угол AED прямой, обосновано, что E, M, N лежат на одной прямой, найдены медианы 13 и 5, получен верный ответ 8.
- 1
- Ход решения верный, все шаги выполнены, но не обосновано, что точки E, M, N лежат на одной прямой, или допущена одна вычислительная ошибка при нахождении медиан и их разности.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.