Условие
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, касается гипотенузы AB в точке K. Известно, что AK=3, KB=10. Найдите площадь треугольника ABC.
Подсказка
Из каждой вершины к окружности проведены два равных отрезка касательных.
Обозначьте радиус через r и выразите через него оба катета.
Показать ответ
30
Пошаговое решение
- Отрезки касательных
Пусть окружность касается катетов AC и BC в точках N и P, r — её радиус. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: AN=AK=3, BP=BK=10, CN=CP.
- Почему CN=CP=r
Радиусы в точки касания перпендикулярны катетам, а угол C прямой. Значит, четырёхугольник с вершинами C, N, центром окружности и P — прямоугольник с равными соседними сторонами (квадрат), и CN=CP=r. Тогда AC=r+3, BC=r+10, AB=3+10=13.
- Теорема Пифагора
(r+3)²+(r+10)²=13², то есть 2r²+26r+109=169, r²+13r−30=0. Корни: r=2 и r=−15; радиус положителен, r=2.
- Находим площадь
Катеты: AC=2+3=5, BC=2+10=12. S=AC·BC/2=5·12/2=30.
- Проверяем и записываем ответ
5²+12²=169=13² — треугольник действительно прямоугольный. Типичная ошибка — считать катетами сами отрезки 3 и 10 и получить площадь 15.
Ответ: 30
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обосновано равенство отрезков касательных и то, что отрезки от C до точек касания равны r; составлено уравнение Пифагора, отброшен отрицательный корень, найдены катеты и получен ответ 30.
- 1
- Ход решения верный и доведён до ответа, но не обосновано, почему CN=CP=r (или равенство отрезков касательных), либо допущена одна вычислительная ошибка при решении квадратного уравнения.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.