Условие
Угол A ромба ABCD равен 60°, диагональ AC равна 18. Высота BH ромба, проведённая к стороне AD, пересекает диагональ AC в точке M. Найдите BM.
Подсказка
Рассмотрите треугольник ABD: какие у него стороны и углы?
Чем являются отрезки BH и AO для треугольника ABD и как делит их общая точка M?
Показать ответ
6
Пошаговое решение
- Треугольник ABD равносторонний
AB = AD как стороны ромба, а угол между ними равен 60°. В равнобедренном треугольнике ABD углы при основании BD равны (180° − 60°) : 2 = 60°, значит, он равносторонний.
- Определяем роль отрезков BH и AO
Пусть O — точка пересечения диагоналей. Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, поэтому O — середина BD и AO (часть диагонали AC) — медиана треугольника ABD. BH — высота равностороннего треугольника ABD, значит, и его медиана: H — середина AD.
- M — точка пересечения медиан
Медианы BH и AO треугольника ABD пересекаются в точке M и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины. Медианы равностороннего треугольника равны, поэтому BH = AO.
- Вычисляем BM
AO = AC : 2 = 18 : 2 = 9, значит, BH = 9 и BM = (2/3) · BH = 6.
- Проверяем и записываем ответ
Сторона ромба AB = AO : cos 30° = 9 : (√3/2) = 6√3, BH = AB · sin 60° = 9, BM = 6 — совпадает. Типичная ошибка — считать M серединой BH и ответить 4,5 или принять BM = AO = 9.
Ответ: 6
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Ход решения верный, все шаги выполнены правильно: доказано, что треугольник ABD равносторонний, обосновано, что BH и AO — его медианы и BM : MH = 2 : 1, найдено BH = AO = 9, получен верный ответ 6.
- 1
- Ход решения верный, все шаги выполнены, но не обосновано, что M — точка пересечения медиан треугольника ABD (или что BH = AO), либо допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.