Условие
Точка H — основание высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K, отличных от B. Найдите PK, если AH=8, HC=18.
Подсказка
На какую хорду опирается вписанный угол PBK и чему он равен?
Найдите высоту BH, проведённую к гипотенузе, по отрезкам AH и HC.
Показать ответ
12
Пошаговое решение
- На что опирается угол PBK
Точки B, P, K лежат на окружности, а угол PBK совпадает с прямым углом ABC. Вписанный угол, равный 90°, опирается на диаметр, поэтому хорда PK — диаметр окружности.
- Сравниваем диаметры
BH — тоже диаметр этой окружности по условию. Все диаметры окружности равны, значит, PK = BH.
- Находим высоту BH
Прямоугольные треугольники ABH и BCH подобны: угол ABH = 90° − угол A = угол C. Отсюда AH/BH = BH/HC, то есть BH² = AH·HC = 8·18 = 144, BH = 12.
- Записываем результат
Хорда PK и высота BH — два диаметра одной окружности, поэтому PK = BH = 12; отрезки AH и HC понадобились только для нахождения BH.
- Проверяем и записываем ответ
Углы BPH и BKH опираются на диаметр BH и потому прямые, значит, BPHK — прямоугольник, а диагонали прямоугольника равны: PK = BH = 12. Типичная ошибка — считать PK средней линией треугольника ABC и ответить AC : 2 = 13.
Ответ: 12
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обосновано, что PK — диаметр окружности (вписанный прямой угол PBK) или что BPHK — прямоугольник, найдено BH = 12 из подобия треугольников ABH и BCH (BH² = AH·HC), получен ответ 12.
- 1
- Ход решения верный и доведён до конца, но равенство PK = BH не обосновано (не указано, на что опирается прямой угол), либо допущена одна вычислительная ошибка при нахождении BH.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.