Условие
Прямая касается окружности с центром O и радиусом 26 в точке A. Хорда AB образует с этой касательной острый угол 30°. Найдите расстояние от точки B до касательной.
Подсказка
Какой угол образует радиус OA с касательной? Найдите угол OAB.
Определите вид треугольника AOB, а затем рассмотрите прямоугольный треугольник с углом 30°.
Показать ответ
13
Пошаговое решение
- Используем перпендикулярность радиуса и касательной
Радиус OA перпендикулярен касательной, поэтому угол OAB = 90° − 30° = 60°.
- Рассматриваем треугольник AOB
OA = OB = 26 как радиусы, значит, треугольник AOB равнобедренный и угол OBA = угол OAB = 60°. Тогда угол AOB = 180° − 2·60° = 60°: все углы по 60°, треугольник равносторонний, и AB = 26.
- Опускаем перпендикуляр на касательную
Пусть BH — перпендикуляр к касательной, его длина и есть искомое расстояние. В прямоугольном треугольнике AHB угол BAH = 30°, а катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы: BH = AB/2 = 26/2 = 13.
- Проверка через теорему об угле между касательной и хордой
Угол между касательной и хордой равен половине дуги AB, заключённой внутри угла: дуга AB = 60°, центральный угол AOB = 60° — то же, что в шаге 2. Типичная ошибка — считать расстоянием саму хорду AB = 26 или радиус: расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра.
Ответ: 13
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обосновано, что OA ⊥ касательной и угол OAB = 60°, доказано, что треугольник AOB равносторонний (AB = 26), верно найден перпендикуляр BH = 13 как катет против угла 30°.
- 1
- Ход решения верный и доведён до конца, но вид треугольника AOB или равенство AB радиусу не обоснованы, либо допущена одна вычислительная ошибка в нахождении углов или BH.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.