Условие
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC точка D лежит на продолжении стороны AB за точку B, BK — биссектриса угла CBD. Докажите, что прямые BK и AC параллельны.
Подсказка
Как внешний угол треугольника выражается через его внутренние углы?
Какие углы образуют прямые BK и AC с секущей BC?
Показать ответ
BK∥AC
Пошаговое решение
- Выражаем внешний угол через углы треугольника
Угол CBD смежный с углом ABC, поэтому ∠CBD=180°−∠ABC. Сумма углов треугольника равна 180°, значит, 180°−∠ABC=∠BAC+∠BCA. Итак, ∠CBD=∠BAC+∠BCA (внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним).
- Пользуемся равнобедренностью
AB=BC, поэтому углы при основании равны: ∠BAC=∠BCA. Тогда ∠CBD=2·∠BCA.
- Используем биссектрису
BK делит угол CBD пополам: ∠KBC=∠CBD/2=∠BCA.
- Определяем вид углов при секущей BC
Прямая BC проходит через B, а B лежит между A и D, поэтому A и D — по разные стороны от прямой BC. Луч BK лежит внутри угла CBD, значит, K и A тоже по разные стороны от BC. Поэтому углы KBC и BCA — накрест лежащие при прямых BK, AC и секущей BC.
- Делаем вывод
Накрест лежащие углы KBC и BCA равны, следовательно, BK∥AC. Типичная ошибка — назвать эти углы соответственными или считать, что ∠CBD=∠ABC; внешний угол равен удвоенному углу при основании.
Ответ: BK∥AC
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Доказательство верное, все шаги обоснованы: внешний угол CBD выражен как сумма углов A и C, использовано равенство углов при основании, получено ∠KBC=∠BCA и указано, что это накрест лежащие углы при прямых BK, AC и секущей BC.
- 1
- Доказательство в целом верное, но содержит неточность: равенство ∠KBC=∠BCA получено верно, но не объяснено, что это именно накрест лежащие углы, или равенство внешнего угла сумме углов A и C использовано без обоснования.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.