Условие
В треугольнике ABC медиана BM является биссектрисой угла ABC. Докажите, что AB=BC.
Подсказка
Прямое сравнение треугольников ABM и CBM не работает. Попробуйте продлить медиану BM за точку M.
Отложите на продолжении MD=BM и сравните треугольники AMD и CMB.
Показать ответ
AB=BC
Пошаговое решение
- Делаем дополнительное построение
Продлим медиану BM за точку M на отрезок MD, равный BM, и соединим точки A и D. Сравнивать треугольники ABM и CBM напрямую нельзя: у них известны две стороны (BM общая, AM=MC) и угол, не лежащий между ними, а такого признака равенства нет.
- Доказываем равенство треугольников AMD и CMB
AM=MC, потому что BM — медиана; MD=MB по построению; ∠AMD=∠CMB как вертикальные. По двум сторонам и углу между ними треугольники AMD и CMB равны (A↔C, D↔B).
- Переносим равенства на треугольник ABD
Из равенства треугольников AD=CB и ∠ADM=∠CBM. BM — биссектриса, поэтому ∠CBM=∠ABM. Значит, ∠ADB=∠ABD.
- Получаем равнобедренный треугольник ABD
В треугольнике ABD два угла при стороне BD равны, следовательно, он равнобедренный: AB=AD.
- Делаем вывод
AB=AD и AD=BC, поэтому AB=BC. Типичная ошибка — объявить треугольники ABM и CBM равными «по двум сторонам и углу» (BM, AM=MC и ∠ABM=∠CBM): угол не лежит между этими сторонами, такое рассуждение не является доказательством.
Ответ: AB=BC
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Доказательство верное, все шаги обоснованы: выполнено удвоение медианы (MD=BM), равенство треугольников AMD и CMB доказано по первому признаку с вертикальными углами, из него и из биссектрисы получено ∠ADB=∠ABD, откуда AB=AD=BC.
- 1
- Доказательство в целом верное, но содержит неточность: идея удвоения медианы и равенство треугольников AMD и CMB верны, но не обоснован переход к равнобедренному треугольнику ABD (не указано, что ∠ADM=∠CBM=∠ABM).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.