Условие
На сторонах AB, BC и CA равностороннего треугольника ABC отмечены точки K, L и M соответственно так, что AK=BL=CM. Докажите, что треугольник KLM равносторонний.
Подсказка
Какие треугольники отсекает треугольник KLM от треугольника ABC?
Выразите через сторону a и отрезок x оставшиеся части сторон.
Показать ответ
треугольник KLM равносторонний
Пошаговое решение
- Вводим обозначения
Пусть сторона треугольника ABC равна a, а AK=BL=CM=x. Точки лежат на сторонах, поэтому оставшиеся части сторон равны: KB=a−x, LC=a−x, MA=a−x.
- Выбираем три треугольника
Стороны KM, LK и ML треугольника KLM являются третьими сторонами треугольников AKM, BLK и CML, отсечённых у вершин A, B и C.
- Проверяем условия первого признака
В треугольнике AKM стороны AK=x и AM=a−x образуют угол A=60°; в треугольнике BLK стороны BL=x и BK=a−x образуют угол B=60°; в треугольнике CML стороны CM=x и CL=a−x образуют угол C=60°. Все углы равностороннего треугольника равны 60°.
- Получаем равенство треугольников
По двум сторонам и углу между ними треугольники AKM, BLK и CML равны. Значит, равны и их третьи стороны: KM=LK=ML.
- Делаем вывод
У треугольника KLM все стороны равны, он равносторонний. Типичная ошибка — считать, что AM=x: точка M делит сторону CA так, что CM=x, поэтому AM=a−x, и пары сторон нужно подбирать внимательно.
Ответ: треугольник KLM равносторонний
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Доказательство верное, все шаги обоснованы: показано, что KB=LC=MA как разности равных отрезков, равенство треугольников AKM, BLK и CML доказано по первому признаку (стороны x и a−x, угол 60° между ними), откуда KM=LK=ML.
- 1
- Доказательство в целом верное, но содержит неточность: равенство треугольников AKM, BLK, CML утверждается верно, но не обосновано равенство отрезков AM, BK, CL или не указано, что углы по 60° лежат между равными сторонами.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.