Условие
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BD и CE: D лежит на AC, E лежит на AB. Докажите, что AB·AE=AC·AD.
Подсказка
Сравните треугольники ADB и AEC.
Не перепутайте соответствие гипотенуз и катетов.
Показать ответ
AB·AE=AC·AD
Пошаговое решение
- Уточняем положение точек
Поскольку треугольник остроугольный, D и E лежат внутри соответствующих сторон. Поэтому лучи AD и AC совпадают, как и AE и AB.
- Находим равные углы
Углы ADB и AEC прямые по определению высот. Углы BAD и CAE равны одному и тому же углу BAC.
- Записываем подобие с верным соответствием
Треугольники ADB и AEC подобны по двум углам: A соответствует A, D — E, B — C. Значит AB/AC=AD/AE.
- Получаем требуемое равенство
Все длины положительны. Умножаем пропорцию на AC·AE и получаем AB·AE=AC·AD. Утверждение доказано без предположения о равенстве сторон.
Ответ: AB·AE=AC·AD
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Доказано подобие, верно указана соответствующая пропорция и выведено равенство.
- 1
- Подобие обосновано, но переход к требуемому равенству не завершён.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.