ОГЭ, задание 24: Геометрия: доказательство

Какую часть стороны AB составляет отрезок BM?

Сравните треугольники MBN и ABC: у них есть общий угол.

1. Переходим от отношения частей к отношению отрезка и всей стороны

   BM:MA=2:1 означает, что сторона AB разбита на 3 равные части, из которых 2 приходятся на BM: BM=(2/3)·BA. Точно так же BN=(2/3)·BC. Значит, BM/BA=BN/BC=2/3.

2. Доказываем подобие треугольников MBN и ABC

   У треугольников MBN и ABC угол B общий, а стороны, образующие этот угол, пропорциональны: BM/BA=BN/BC. По второму признаку подобия треугольники подобны (M↔A, N↔C), коэффициент k=2/3.

3. Доказываем параллельность

   Из подобия ∠BMN=∠BAC. Это соответственные углы при прямых MN, AC и секущей AB (точки N и C лежат по одну сторону от AB). Соответственные углы равны, значит, MN∥AC.

4. Находим отношение площадей

   Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: S(MBN)/S(ABC)=(2/3)²=4/9. То же даёт формула S=½·ab·sin B: S(MBN)=½·(2/3)BA·(2/3)BC·sin B=(4/9)·S(ABC).

5. Записываем вывод и проверяем коэффициент

   Доказано: MN∥AC и S(MBN)=(4/9)·S(ABC). Типичная ошибка — взять за коэффициент подобия отношение BM:MA=2 (коэффициент — это BM/BA=2/3) или написать, что площади относятся как 2/3, забыв возвести коэффициент в квадрат.

Ответ: MN∥AC, S(MBN)=(4/9)·S(ABC)

2

Доказательство верное, все шаги обоснованы: получено BM/BA=BN/BC=2/3, подобие треугольников MBN и ABC обосновано по второму признаку (общий угол B), параллельность выведена из равенства соответственных углов, отношение площадей найдено как квадрат коэффициента.

1

Доказательство в целом верное, но содержит неточность: подобие и параллельность доказаны, но отношение площадей записано без обоснования (не сказано, что площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента), или не назван признак подобия.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.