Условие
В треугольнике ABC проведена медиана BM. Из вершин A и C на прямую BM опущены перпендикуляры AK и CP. Докажите, что AK=CP.
Подсказка
Рассмотрите прямоугольные треугольники с вершиной в точке M.
Что известно об отрезках AM и CM и об углах при вершине M?
Показать ответ
AK=CP
Пошаговое решение
- Разбираем частный случай
Если BM⟂AC, то основания обоих перпендикуляров совпадают с M, и AK=AM=MC=CP. Дальше считаем, что BM не перпендикулярна AC.
- Выясняем расположение точек K и P
Углы AMB и CMB смежные, поэтому один из них острый, а другой тупой. Основание перпендикуляра из A лежит на луче MB, если угол AMB острый, и на противоположном луче, если он тупой; для точки C — наоборот. Значит, K и P лежат на прямой BM по разные стороны от M, и углы AMK и CMP вертикальные.
- Сравниваем прямоугольные треугольники AKM и CPM
∠AKM=∠CPM=90°; гипотенузы AM и CM равны, так как BM — медиана; острые углы AMK и CMP равны как вертикальные.
- Применяем признак равенства прямоугольных треугольников
По гипотенузе и острому углу треугольники AKM и CPM равны, поэтому их соответственные катеты равны: AK=CP.
- Проверяем рассуждение
Доказано AK=CP. Типичная ошибка — назвать углы AMK и CMP вертикальными, не объяснив, что K и P лежат по разные стороны от M, или сравнивать треугольники ABK и CBP, у которых нет равных сторон.
Ответ: AK=CP
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Доказательство верное, все шаги обоснованы: рассмотрены прямоугольные треугольники AKM и CPM, указано AM=CM (медиана), обосновано равенство углов AMK и CMP как вертикальных и применён признак равенства по гипотенузе и острому углу.
- 1
- Доказательство в целом верное, но содержит неточность: равенство треугольников AKM и CPM доказано, но не обосновано, что углы AMK и CMP вертикальные (не объяснено расположение точек K и P), или неверно назван признак.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.