Условие
В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями BC и AD боковая сторона AB перпендикулярна основаниям, а диагонали AC и BD перпендикулярны. Докажите, что AB² = BC·AD.
Подсказка
Найдите два прямоугольных треугольника, у которых AB — общий катет.
Выразите острые углы при вершинах A и D через угол ABD.
Показать ответ
AB²=BC·AD
Пошаговое решение
- Выбираем треугольники
Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC (∠ABC=90°) и DAB (∠DAB=90°): оба прямых угла даны, так как AB перпендикулярна основаниям. Пусть O — точка пересечения диагоналей.
- Находим равные острые углы
В треугольнике ABO угол AOB прямой, поэтому ∠BAC=∠BAO=90°−∠ABO=90°−∠ABD. В прямоугольном треугольнике DAB ∠ADB=90°−∠ABD. Значит, ∠BAC=∠ADB.
- Доказываем подобие
Прямоугольные треугольники ABC и DAB подобны по острому углу: ∠BAC=∠ADB. Соответствие вершин: A↔D, B↔A, C↔B (прямой угол B соответствует прямому углу A).
- Записываем пропорцию
Из подобия: катет BC (против угла BAC) относится к катету AB (против равного угла ADB) так же, как катет AB относится к катету AD: BC/AB=AB/AD. По свойству пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.
- Проверяем обоснования и типичную ошибку
Ошибка — перепутать соответствие сторон и написать BC/AD=AB/AB. Проверка на примере: при AB=6, BC=4, AD=9 диагонали действительно перпендикулярны, и 6²=36=4·9. Опираться на такой пример как на доказательство нельзя — он лишь проверяет формулу.
Ответ: AB²=BC·AD
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Доказательство верное, все шаги обоснованы: доказано равенство острых углов BAC и ADB через угол ABD и прямой угол между диагоналями, выведено подобие прямоугольных треугольников ABC и DAB с правильным соответствием вершин и записана верная пропорция.
- 1
- Доказательство в целом верное, но содержит неточность: например, равенство углов BAC и ADB заявлено без вывода, или соответствие сторон в пропорции записано с опиской, но исправление очевидно из хода рассуждения.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.