ОГЭ, задание 24: Геометрия: доказательство

Обозначьте половины углов A и B через α и β. Каким углом треугольника ABI является угол BIW?

Угол WBC — вписанный. Какой ещё вписанный угол опирается на ту же дугу WC?

1. Вводим обозначения

   Пусть ∠BAC=2α, ∠ABC=2β. AI и BI — биссектрисы, поэтому ∠BAI=∠IAC=α и ∠ABI=∠IBC=β. Точка I лежит внутри треугольника, то есть внутри окружности, а W — на окружности на луче AI, поэтому I лежит между A и W. Докажем, что в треугольнике WBI равны углы при вершинах B и I.

2. Находим угол BIW

   Угол BIW смежный с углом AIB, то есть это внешний угол треугольника ABI при вершине I. Он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: ∠BIW=∠BAI+∠ABI=α+β.

3. Находим угол CBW через вписанные углы

   Луч AW лежит внутри угла BAC, поэтому точка W лежит на дуге BC, не содержащей A, и точки A и B лежат на одной дуге, отсекаемой хордой WC. Вписанные углы WBC и WAC опираются на одну дугу WC, значит, ∠WBC=∠WAC=α.

4. Находим угол IBW

   Отрезок AW пересекает сторону BC (в основании L биссектрисы AL), и точка L лежит между I и W. Поэтому луч BC проходит внутри угла IBW и ∠IBW=∠IBC+∠CBW=β+α.

5. Делаем вывод

   В треугольнике WBI ∠WBI=∠WIB=α+β, значит, он равнобедренный с основанием BI и WB=WI, что и требовалось доказать. Типичная ошибка — написать ∠BIW=β («угол при биссектрисе») вместо внешнего угла α+β или приравнять углы WBC и WAC без ссылки на то, что они вписанные и опираются на одну дугу WC.

Ответ: WB=WI

2

Доказательство верное, все шаги обоснованы: ∠BIW=α+β получен как внешний угол треугольника ABI, ∠WBC=∠WAC=α — как вписанные углы, опирающиеся на дугу WC, ∠IBW=α+β сложением углов (луч BC внутри угла IBW), из равенства углов при основании BI выведено WB=WI.

1

Доказательство в целом верное, но один переход не обоснован: равенство ∠WBC=∠WAC записано без ссылки на вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, или ∠BIW=α+β — без указания, что это внешний угол треугольника ABI, остальные шаги верны.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.