Условие
Из точки P, лежащей вне окружности, проведены касательная PA (A — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках B и C, причём точка B лежит между P и C. Докажите, что PA²=PB·PC.
Подсказка
Проведите хорды AB и AC. Какие два треугольника с вершиной P можно сравнить?
Чему равен угол между касательной PA и хордой AB? С каким вписанным углом он совпадает?
Показать ответ
PA²=PB·PC
Пошаговое решение
- Выбираем треугольники
Проведём хорды AB и AC и рассмотрим треугольники PAB и PCA. У них общий угол P: ∠APB=∠CPA, так как точки B и C лежат на одном луче PC.
- Сравниваем угол между касательной и хордой со вписанным углом
Угол PAB образован касательной PA и хордой AB, поэтому он равен половине дуги AB, заключённой внутри этого угла (дуги, не содержащей C). Вписанный угол PCA, то есть ∠BCA, опирается на ту же дугу AB и тоже равен её половине. Значит, ∠PAB=∠PCA.
- Доказываем подобие
Треугольники PAB и PCA подобны по двум углам: общий угол P и ∠PAB=∠PCA. Соответствие вершин: P — P, A — C, B — A.
- Составляем пропорцию
Из подобия PA/PC=PB/PA (стороны, лежащие против равных углов, пропорциональны).
- Записываем вывод
По основному свойству пропорции PA·PA=PB·PC, то есть PA²=PB·PC, что и требовалось доказать. Типичная ошибка — рассматривать треугольники PAB и PAC как подобные с соответствием A — A: тогда получается неверная пропорция PA/PA=PB/PC, из которой ничего не следует.
Ответ: PA²=PB·PC
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Доказательство верное, все шаги обоснованы: равенство ∠PAB=∠PCA выведено из теоремы об угле между касательной и хордой и вписанном угле, доказано подобие PAB и PCA по двум углам, из пропорции PA/PC=PB/PA получено PA²=PB·PC.
- 1
- Доказательство в целом верное, но равенство ∠PAB=∠PCA записано без ссылки на угол между касательной и хордой (или на половину дуги AB), либо в пропорции допущена одна неточность в соответствии вершин, не повлиявшая на итоговое равенство.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.