Условие
Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке E. Докажите, что AE·EB=CE·ED.
Подсказка
Соедините концы хорд так, чтобы получились два треугольника с общей вершиной E.
Какие вписанные углы этих треугольников опираются на одну и ту же дугу?
Показать ответ
AE·EB=CE·ED
Пошаговое решение
- Выбираем треугольники
Проведём отрезки AC и BD и рассмотрим треугольники AEC и DEB. Докажем, что они подобны.
- Находим первую пару равных углов
∠AEC=∠DEB как вертикальные (прямые AB и CD пересекаются в точке E).
- Находим вторую пару равных углов
Хорды пересекаются внутри окружности, поэтому точки A и D лежат на одной дуге, отсекаемой хордой CB. Углы CAB и CDB — вписанные и опираются на одну и ту же дугу CB, значит, ∠CAB=∠CDB, то есть ∠CAE=∠BDE.
- Доказываем подобие и составляем пропорцию
Треугольники AEC и DEB подобны по двум углам, причём вершине A соответствует D, вершине E — E, вершине C — B. Отношения соответствующих сторон равны: AE/DE=CE/BE.
- Записываем вывод
По основному свойству пропорции AE·BE=CE·DE, то есть AE·EB=CE·ED, что и требовалось доказать. Типичная ошибка — перепутать соответствие вершин и записать AE/EB=CE/ED: такая пропорция не следует из подобия и приводит к неверному равенству AE·ED=CE·EB.
Ответ: AE·EB=CE·ED
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Доказательство верное, все шаги обоснованы: доказано подобие треугольников AEC и DEB по двум углам (вертикальные углы и вписанные углы CAB и CDB, опирающиеся на дугу CB), из верной пропорции AE/DE=CE/BE получено AE·EB=CE·ED.
- 1
- Доказательство в целом верное, но равенство углов CAB и CDB не обосновано ссылкой на вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, либо подобие доказано верно, а при записи пропорции допущена одна неточность в соответствии сторон, исправленная в итоговом равенстве.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.