Условие
Около трапеции ABCD с основаниями AD и BC описана окружность. Докажите, что трапеция равнобедренная, то есть AB=CD.
Подсказка
Проведите диагональ AC и найдите равные углы при параллельных основаниях.
Какие дуги стягивают стороны AB и CD и на какие дуги опираются найденные углы?
Показать ответ
AB=CD
Пошаговое решение
- Проводим диагональ
Проведём диагональ AC. Она — секущая для параллельных прямых AD и BC.
- Находим равные накрест лежащие углы
∠CAD=∠ACB как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC.
- Переходим к дугам
Все четыре вершины лежат на окружности, поэтому ∠CAD — вписанный угол, опирающийся на дугу CD (не содержащую A), а ∠ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB (не содержащую C). Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается, поэтому из ∠CAD=∠ACB следует, что дуги CD и AB равны.
- Переходим от дуг к хордам
Равные дуги стягиваются равными хордами: если O — центр окружности, то треугольники AOB и COD равны по двум сторонам (радиусы) и углу между ними (центральные углы равных дуг). Значит, AB=CD.
- Записываем вывод
Боковые стороны трапеции равны: AB=CD, трапеция равнобедренная, что и требовалось доказать. Типичная ошибка — сослаться на «вписать в окружность можно только равнобедренную трапецию»: это и есть доказываемое утверждение. Нельзя и ограничиться равенством ∠A+∠C=180°, не доведя его до AB=CD.
Ответ: AB=CD
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Доказательство верное, все шаги обоснованы: из параллельности AD и BC получено ∠CAD=∠ACB, эти углы названы вписанными углами, опирающимися на дуги CD и AB, выведено равенство дуг и затем хорд AB=CD.
- 1
- Доказательство в целом верное, но переход от равных вписанных углов к равным хордам AB и CD сделан без обоснования (без ссылки на равные дуги или на центральные углы), либо не указано, почему углы CAD и ACB равны.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.