Условие
В параллелограмме ABCD точки E и F — середины сторон BC и AD соответственно. Отрезки AE и CF пересекают диагональ BD в точках P и Q. Докажите, что BP = PQ = QD.
Подсказка
Какой четырёхугольник образуют точки A, E, C, F? Что из этого следует для прямых AE и CF?
В треугольнике BCQ прямая AE проходит через середину стороны BC. Что говорит теорема Фалеса?
Показать ответ
BP=PQ=QD
Пошаговое решение
- Доказываем, что AECF — параллелограмм
AF ∥ EC, так как они лежат на противоположных сторонах AD и BC параллелограмма. AF = AD/2 и EC = BC/2, а AD = BC, поэтому AF = EC. Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, — параллелограмм; значит, AECF — параллелограмм и AE ∥ CF.
- Рассматриваем треугольник BCQ
Точка E — середина стороны BC, прямая AE проходит через E параллельно стороне CQ (CQ лежит на CF). По теореме Фалеса прямая, проходящая через середину одной стороны треугольника параллельно другой стороне, делит третью сторону BQ пополам. Прямая AE пересекает BD только в точке P, поэтому P — середина BQ: BP = PQ.
- Рассматриваем треугольник DAP
Точно так же F — середина стороны AD, прямая CF проходит через F параллельно стороне AP (AP лежит на AE). По теореме Фалеса она делит сторону DP пополам, то есть Q — середина DP: PQ = QD.
- Соединяем равенства
BP = PQ и PQ = QD, поэтому BP = PQ = QD: отрезки AE и CF делят диагональ BD на три равные части.
- Проверяем обоснования и типичную ошибку
Ключевой переход — параллельность AE и CF: без неё теорему Фалеса применять нельзя, а «по рисунку» её брать нельзя. Другой верный путь: P — точка пересечения медиан AE и BO треугольника ABC (O — центр параллелограмма), поэтому BP = (2/3)·BO = BD/3. Типичная ошибка — считать, что P — середина BO или что BP = PD.
Ответ: BP=PQ=QD
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Доказательство верное, все шаги обоснованы: доказано, что AECF — параллелограмм (AF ∥ EC и AF = EC), откуда AE ∥ CF; в треугольниках BCQ и DAP по теореме Фалеса (или теореме о средней линии) получено BP = PQ и PQ = QD.
- 1
- Доказательство в целом верное, но содержит неточность: например, параллельность AE и CF использована без доказательства, или равенство BP = PQ получено, а для PQ = QD сказано лишь «аналогично» без указания треугольника DAP.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.