Условие
В треугольнике ABC медианы AD и BE пересекаются в G. Докажите, что площади треугольников ABG и BCG равны. Если площадь ABG равна 18, найдите площадь ABC.
Подсказка
Точка пересечения медиан делит каждую в отношении 2:1 от вершины: AG:GD=2:1.
BD=DC, поэтому S(BGD)=S(CGD)=s: основания равны, высота из G общая. Треугольники ABG и BGD имеют основания AG и GD на одной прямой и общую высоту из B. Значит S(ABG)=2s.
Показать ответ
54
Пошаговое решение
- Используем свойства медиан
Точка пересечения медиан делит каждую в отношении 2:1 от вершины: AG:GD=2:1.
- Сравниваем площади
BD=DC, поэтому S(BGD)=S(CGD)=s: основания равны, высота из G общая. Треугольники ABG и BGD имеют основания AG и GD на одной прямой и общую высоту из B. Значит S(ABG)=2s.
- Доказываем требуемое
S(BCG)=S(BGD)+S(CGD)=2s=S(ABG). Аналогично S(ACG)=2s. Суммарно S(ABC)=6s=3S(ABG).
- Находим площадь
S(ABC)=3·18=54.
Ответ: 54