Условие
В треугольнике ABC сторона AB больше стороны AC, AL — биссектриса треугольника. Докажите, что угол ALB тупой.
Подсказка
Какой угол треугольника ABC больше: B или C? Какая теорема об этом говорит?
Углы ALB и ALC — внешние углы треугольников ALC и ALB.
Показать ответ
угол ALB тупой
Пошаговое решение
- Сравниваем углы B и C
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Против стороны AB лежит угол C, против стороны AC — угол B. Так как AB>AC, то ∠C>∠B.
- Выражаем угол ALB
Пусть ∠BAL=∠LAC=α (AL — биссектриса). Угол ALB — внешний угол треугольника ALC при вершине L, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: ∠ALB=α+∠C.
- Выражаем угол ALC
Угол ALC — внешний угол треугольника ALB при вершине L: ∠ALC=α+∠B.
- Сравниваем углы ALB и ALC
∠ALB−∠ALC=(α+∠C)−(α+∠B)=∠C−∠B>0, значит, ∠ALB>∠ALC.
- Делаем вывод
Углы ALB и ALC смежные, их сумма 180°. Больший из двух смежных углов больше 90°, поэтому угол ALB тупой. Типичная ошибка — перепутать, какой угол лежит против стороны AB: против AB лежит угол C, а не угол B; иначе получится неверный вывод, что тупой угол ALC.
Ответ: угол ALB тупой
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Доказательство верное, все шаги обоснованы: из AB>AC обосновано ∠C>∠B (против большей стороны лежит больший угол), углы ALB и ALC выражены как внешние углы треугольников ALC и ALB, и из их сравнения и смежности сделан вывод, что угол ALB тупой.
- 1
- Доказательство в целом верное, но содержит неточность: сравнение ∠ALB>∠ALC получено верно, но не объяснено, почему больший из смежных углов тупой, или соотношение ∠C>∠B использовано без ссылки на теорему о сторонах и углах.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.