Условие
В треугольнике ABC угол ACB тупой. Из вершин A и B проведены высоты AA₁ и BB₁ к прямым BC и AC. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.
Подсказка
Где лежат основания высот, если угол при вершине C тупой?
Сравните прямоугольные треугольники AA₁C и BB₁C: какие острые углы у них равны?
Показать ответ
треугольники A₁CB₁ и ACB подобны
Пошаговое решение
- Выясняем, где лежат основания высот
Если бы точка A₁ лежала на луче CB, то в прямоугольном треугольнике AA₁C угол ACA₁ совпал бы с тупым углом ACB, а в прямоугольном треугольнике оба угла, кроме прямого, острые. Значит, A₁ лежит на продолжении стороны BC за точку C. Так же B₁ лежит на продолжении стороны AC за точку C.
- Доказываем подобие прямоугольных треугольников AA₁C и BB₁C
∠AA₁C=∠BB₁C=90°. Лучи CA₁ и CB противоположны, лучи CB₁ и CA тоже противоположны, поэтому ∠ACA₁=∠BCB₁ как вертикальные. По двум углам треугольники AA₁C и BB₁C подобны (A↔B, A₁↔B₁, C↔C).
- Записываем пропорцию и переставляем её члены
Из подобия CA₁/CB₁=CA/CB. По основному свойству пропорции CA₁·CB=CB₁·CA, то есть CA₁/CA=CB₁/CB.
- Сравниваем углы при вершине C
∠A₁CB₁=∠ACB как вертикальные: сторона CA₁ — продолжение луча CB, а CB₁ — продолжение луча CA.
- Применяем второй признак подобия и проверяем соответствие
В треугольниках A₁CB₁ и ACB углы при вершине C равны (они вертикальные), а стороны, образующие эти углы, пропорциональны: CA₁/CA=CB₁/CB. По второму признаку треугольники подобны, причём A₁ соответствует A, B₁ соответствует B. Типичная ошибка — сопоставить CA₁ со стороной CB («как на рисунке»): пропорция CA₁/CB=CB₁/CA в общем случае неверна.
Ответ: треугольники A₁CB₁ и ACB подобны
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Доказательство верное, все шаги обоснованы: объяснено, что A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон за точку C, доказано подобие треугольников AA₁C и BB₁C (вертикальные углы), получена пропорция CA₁/CA=CB₁/CB и применён второй признак подобия с вертикальными углами A₁CB₁ и ACB.
- 1
- Доказательство в целом верное, но содержит неточность: не объяснено, почему углы при вершине C вертикальные (где лежат основания высот), или пропорция из подобия AA₁C и BB₁C не переписана в нужном виде, но вывод о подобии треугольников A₁CB₁ и ACB сделан верно.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.