Условие
Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны и равны AC=10, BD=14. K, L, M, N — середины AB, BC, CD, DA соответственно. Докажите, что KLMN — прямоугольник, и найдите его периметр.
Подсказка
В треугольниках ABC и ADC получаем KL∥AC и MN∥AC, KL=MN=AC/2. Аналогично LM∥BD и KN∥BD, LM=KN=BD/2.
Противоположные стороны KLMN параллельны, значит это параллелограмм. Так как AC⊥BD, соседние стороны KL и LM перпендикулярны. Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.
Показать ответ
24
Пошаговое решение
- Применяем теорему о средней линии
В треугольниках ABC и ADC получаем KL∥AC и MN∥AC, KL=MN=AC/2. Аналогично LM∥BD и KN∥BD, LM=KN=BD/2.
- Доказываем вид четырёхугольника
Противоположные стороны KLMN параллельны, значит это параллелограмм. Так как AC⊥BD, соседние стороны KL и LM перпендикулярны. Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.
- Находим периметр
P=2(AC/2+BD/2)=AC+BD=10+14=24.
Ответ: 24