Условие
В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне AB; она пересекает сторону AC в точке E. Докажите, что AE=DE.
Подсказка
Какие углы образуют параллельные прямые DE и AB с секущей AD?
Рассмотрите треугольник AED и сравните его углы при стороне AD.
Показать ответ
AE=DE
Пошаговое решение
- Записываем, что дано
AD — биссектриса угла BAC, поэтому ∠BAD=∠DAC. DE∥AB, точка E лежит на стороне AC. Доказывать равенство двух сторон треугольника AED удобно через равенство противолежащих им углов.
- Находим накрест лежащие углы
Прямые DE и AB параллельны, AD — секущая. Точка E лежит на AC, а точки B и C — по разные стороны от прямой AD, поэтому E и B по разные стороны от AD. Значит, ∠EDA и ∠DAB — накрест лежащие, и ∠EDA=∠DAB.
- Используем биссектрису
∠DAB=∠DAE, так как AD — биссектриса, а луч AE совпадает с лучом AC. Получаем ∠EDA=∠EAD.
- Получаем равнобедренный треугольник
В треугольнике AED углы при стороне AD равны, значит, он равнобедренный с основанием AD, и стороны, лежащие против этих углов, равны: AE=DE.
- Проверяем соответствие углов и сторон
Против угла EDA лежит сторона AE, против угла EAD — сторона DE, поэтому вывод AE=DE верен. Типичная ошибка — назвать углы EDA и DAB соответственными или сделать вывод AD=DE: равны стороны, прилежащие к вершине E, а не к вершине D.
Ответ: AE=DE
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Доказательство верное, все шаги обоснованы: указано, что ∠EDA=∠DAB как накрест лежащие при DE∥AB и секущей AD, использовано ∠DAB=∠DAE (биссектриса), и из равенства углов при AD сделан вывод, что треугольник AED равнобедренный и AE=DE.
- 1
- Доказательство в целом верное, но содержит неточность: равенство углов ∠EDA=∠EAD получено, но не назван вид углов при параллельных прямых, или вывод о равенстве сторон сделан без указания, что треугольник AED равнобедренный.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.